Käänteiselementtejä

Käänteiselementtejä ovat matemaattisia operaatioita tai objekteja, jotka kumovat toisen operaation tai objektin vaikutuksen. Joukossa K on kaksi operaatiota, addition (+) ja multiplication (*). Additiivinen käänteiselementti a:lle joukossa K on sellainen elementti -a, että a + (-a) = 0. Tässä 0 on joukon additiivinen identiteettielementti. Multiplikatiivinen käänteiselementti a:lle joukossa K on sellainen elementti a^-1, että a * a^-1 = 1. Tässä 1 on joukon multiplikatiivinen identiteettielementti.

Käsitteen käänteiselementtiä käytetään laajasti eri matemaattisissa rakenteissa, kuten ryhmissä, renkaissa ja kunnissa. Esimerkiksi kokonaislukujen joukossa jokaisella luvulla a on additiivinen käänteiselementti -a. Kuitenkin vain luvuilla 1 ja -1 on multiplikatiivinen käänteiselementti kokonaislukujen joukossa. Rationaalilukujen joukossa jokaisella luvulla a paitsi nollalla on sekä additiivinen käänteiselementti -a että multiplikatiivinen käänteiselementti 1/a.

Käänteiselementtien olemassaolo on keskeistä monien matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, kuten yhtälöiden ratkaisemisessa ja algoritmien kehittämisessä. Käänteismatriisit lineaarialgebrassa ovat myös esimerkki käänteiselementtien käytöstä, sillä matriisin A käänteismatriisi A^-1 toteuttaa ehdon A * A^-1 = I, missä I on yksikkömatriisi.