Jämnserieparametrar

Jämnserieparametrar är en benämning som används inom analys för de koefficienter som förekommer i en jämn maktserie. En jämn maktserie är en funktion skriven som f(x) = sum_{n=0}^\infty a_n x^{2n}, där varje term är en jämn potens.

Parametrarna a_n kallas jämnserieparametrar och bestämmer hela serien eftersom värdena på a_n avgör hur f ser ut kring x=0 och hur den konvergerar.

Om man gör substitutionen y = x^2 blir f(x) = g(y) med g(y) = sum_{n=0}^\infty a_n y^n. På så sätt kan jämnserieparametrarna ses som ordinära seriekoefficienter i variabeln y.

Egenskaper: om f är analytisk i ett område kring 0, är a_n = f^{(2n)}(0)/(2n)!. Konvergens i x bestäms av limsup |a_n|^{1/n}. För exempel: cosh(x) = sum_{n>=0} x^{2n}/(2n)!, så jämnserieparametrarna är a_n = 1/(2n)!. För cos(x) gäller a_n = (-1)^n/(2n)!.

Användning: jämnserieparametrar används när man studerar jämna funktioner, där symmetri f(-x)=f(x) innebär att endast jämna termer förekommer i Maclaurin-utvecklingen. De är också praktiska i genererande funktioner där variabeln är x^2 och i beräkningar där endast de jämna termerna behöver beräknas.

Se även: Taylorutvecklingar, jämna funktioner och kraftserier.