Izometrii

Izometrii sunt transformări ale spațiului Euclidean care păstrează distanța dintre orice două puncte. O izometru f: E^n → E^n verifică d(f(x), f(y)) = d(x, y) pentru toate x, y ∈ E^n. Orice izometru poate fi exprimată în forma f(x) = Ax + b, unde A este o transformare ortogonală (A^T A = I) și b ∈ R^n. Prin urmare, izometriile sunt exact aplicațiile cu o parte liniară ortogonală urmată de o translație. Grupul ISO(n) al izometrilor este închis sub compoziție, iar subgrupul ISO+(n) conține izometrii care păstrează orientarea (A ∈ SO(n)).

În planul Euclidean, principalele tipuri sunt: translatii (x → x + t), rotații (x → Rx, cu R ∈ SO(2)), reflexii față de o linie și reflexii glisate (reflexie compusă cu o translație paralelă liniei de reflecție). Distanța este păstrată în toate cazurile. În plan, izometriile orientare-preserving sunt translatiile și rotațiile, în timp ce cele orientare-reversing includ reflexiile și reflexiile glisate.

În spațiul în trei dimensiuni, forma generală rămâne f(x) = Ax + b cu A ∈ O(3). Pe lângă translatii, rotații și reflexii, există mișcări numite screw motions (rotire în jurul unei axe urmate de o translație de-a lungul acelei axe), care sunt orientare-preserving. În general, orice izometru este un fel de combinație între o transformare ortogonală și o translație.

Proprietăți și aplicații: izometriile păstrează distanțele, proiecțiile și cercurile, făcându-le fundamentale în geometrică, grafică computerizată, modelare geometrică, cristalografie și robotica.