Ipergeometriche

Ipergeometriche è un termine che si usa in matematica per riferirsi alle funzioni ipergeometriche, alle serie ipergeometriche e alle equazioni ipergeometriche. È una famiglia ampia di oggetti che appaiono spesso come soluzioni di problemi teorici e applicati, e che comprende diverse classi fondamentali.

La forma più nota è la funzione ipergeometrica di Gauss, comunemente indicata come 2F1(a,b;c;z). Essa è una soluzione dell’equazione differenziale ipergeometrica, un secondo ordine con tre punti singolari regolari (tipicamente 0, 1 e ∞). Esistono poi generalizzazioni chiamate funzioni ipergeometriche generalizzate, denotate come _pF_q, che includono casi particolari come le funzioni confluenti (per es. _1F1) e altre famiglie di funzioni speciali.

Le funzioni ipergeometriche si definiscono spesso tramite serie di potenze di tipo _pF_q(a1,...,ap; b1,...,bq; z) = sum_{n=0}^∞ [(a1)_n ... (ap)_n / (b1)_n ... (bq)_n] z^n / n!, dove (q)_n è il simbolo di Pochhammer. Queste serie hanno regimi di convergenza che dipendono dall’ordine p e q e dai parametri, e possono essere prolungate analiticamente oltre la regione di convergenza iniziale. Le ipergeometriche sono quindi strumenti flessibili per descrivere soluzioni di equazioni differenziali, trasformazioni analitiche e modelli matematici.

Ambiti di impiego tipici includono analisi matematica, algebra, teoria delle rappresentazioni, geometria algebrica e fisica matematica, dove compaiono in problemi di integrazione, sommazione, probabilità e modelli di fenomeni fisici.