Invertibiliteetti

Invertibiliteetti eli kääntevyys tarkoittaa, että esityksellä on käänteinen vastine. Matriisimaailmassa n×n-matriisi A on käännettävä, jos löytyy B sellaisenaan, että AB = BA = I_n. Tällöin B on A:n käänteismatriisi, merkitään A^{-1}.

Kriteerit: A on käännettävä yli kentän F, jos det(A) ≠ 0. Tämä on keskeinen ehto. Vaihtoehtoisesti A on käännettävä, kun rank(A) = n, eli jokaisella rivillä ja sarakkeella on pivotti ja ne kattavat tilan.

Ominaisuudet: Inverssi on ainutlaatuinen. det(A^{-1}) = 1/det(A). Käänteiset matriisit muodostavat ryhmän GL(n, F), joka sulkeutuu kertolaskussa ja sisältää identiteetin.

Laskenta: Käänteinen voidaan löytää Gaussin eliminaatiolla, adjungaattilaskulla tai LU- ja PLU-dekompositionien avulla. Esimerkki: A = [[a, b], [c, d]] on käännettävä, jos ad − bc ≠ 0, jolloin A^{-1} = (1/(ad−bc)) [[d, -b], [-c, a]].

Lineaarinen kuva: Lineaarinen muutos T: V → V on invertible, jos sen ydin on {0} ja kuori on koko V, eli T on bijektio ja sillä on käänteinen muunnos.

Lisähuomio: Käänteisyyttä määritellään myös renkaissa; ei kaikilla elementeillä ole käänteistä. Käytännössä käänteisiä elementtejä kutsutaan yksiköiksi.