Interpolació

Interpolació és el conjunt de tècniques matemàtiques que permet estimar valors d'una funció en punts no observats a partir de valors coneguts en un conjunt de punts. L’objectiu és obtenir una funció que passi pels punts donats i que sigui una bona aproximació de la funció real entre ells. L’extrapolació recolza valors fora del rang dels punts coneguts, mentre que l’interpolació se centra en els punts entre ells.

Els mètodes més comuns són: la interpolació polinòmica, que ajusta un polinomi de grau n−1 a n punts; l’interpolació per splines, en particular les cúbiques, que utilitzen segments polinòmics entre punts amb condicions de continuïtat i suavitat; i la interpolació lineal, que estima valors fent segments rectes entre punts consecutius. També existeixen metodologies basades en funcions base, com les splines B-spline, i en ajust estadístic per a dades amb soroll.

Una característica clau és l’existència d’una interpolació exacta: l’objecte és passar exactament pels valors donats. L’expressió algebraica de la interpolació polinòmica es pot donar en forma de Lagrange o en forma de Newton (amb diferències dividides). La forma baricèntrica de Lagrange és particularment estable i eficient computacionalment. Per conjunts grans de punts, les splines poden evitar l’efecte Runge, on el polinomi d’alt grau oscil·la excessivament als extrems.

Aplicacions: reconstrucció i interpolació de dades en ciències i enginyeria, gràfics per ordinadors i animacions, processament de sèries temporals, geolocalització i mapeig, i resolució numèrica d’equacions diferencials en malles d’elements finits.

Història: la idea es remunta als estudis de Lagrange i Newton al segle XVII i XVIII, encara que formes d’interpolació existien abans en intuïcions pràctiques. Avui, les formulacions baricèntriques i l’ús de splines són estàndards en computació numèrica.