Integraalifunktsioonid

Integraalifunktiot, eli integraalit, ovat keskeinen käsite infinitesimaalilaskennassa. Ne liittyvät läheisesti derivointiin, ollen käytännössä derivoinnin käänteisoperaatio. Funktion f(x) integraalifunktio F(x) on sellainen funktio, jonka derivaatta on alkuperäinen funktio, eli F'(x) = f(x).

Tätä kutsutaan määräämättömäksi integraaliksi ja sitä merkitään symbolilla ∫ f(x) dx. Määräämättömään integraaliin liittyy aina integroimisvakio C, koska vakion derivaatta on nolla. Tämän vuoksi integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen, vaan joukko funktioita, jotka eroavat toisistaan vain vakiotermiltään. Esimerkiksi funktion 2x integraalifunktioita ovat x² + C, missä C voi olla mikä tahansa reaaliluku.

Toinen keskeinen integraalin käsite on määrätty integraali. Määrätty integraali lasketaan välillä [a, b] ja se kuvaa funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän pinta-alan. Määrätyn integraalin arvo saadaan laskemalla funktion integraalifunktion erotus integrointirajojen välillä, eli ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a). Tässä tapauksessa integroimisvakiolla C ei ole merkitystä, koska se kumoutuu vähennyslaskussa. Integraalifunktioilla on laajoja sovelluksia monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten fysiikassa, taloustieteessä ja todennäköisyyslaskennassa.