Integraalid

Integraalid on matemaatiline mõiste, mis kirjeldab kogunemist vastavalt funktsiooni väärtustele. Neid on kaks peamist sorti: määratud integraal ja määramata integraal. Määratud integraal ∫_a^b f(x) dx annab kindla arvulise väärtuse, mis näitab kogunemist funktsiooni f(x) vahel a ja b. Määramata integraal ∫ f(x) dx on antideriivide perekond, mille iga liige F rahuldab F'(x) = f(x).

Määratud integraal ∫_a^b f(x) dx annab täpselt kindla väärtuse, tavaliselt arvu, mis iseloomustab kogunemist funktsiooni f(x) vahel a ja b. Kui f on pidev, on määratud integraal võrdne antideriivide väärtuste erinevusega: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), kus F on antideriiv f.

Olulised integraalide tüübid on Riemanni integraal, Lebesgue integraal ja ebapiisav (improper) integraal. Riemanni integraal on klassikaline lähenemisviis, mis sobib enamiku lihtsate funktsioonide jaoks. Lebesgue integraal laiendab integratsiooni teoreetikalt ning lubab integreerida laiemat funktsioonide klassi. Ebapiisav integraal tegeleb juhtudega, kus alusvahemikus või integrand on lõpmatult suur.

Fundamentaalne teoreem kalkulusest seob differentiatsiooni ja integreerimise: kui f on [a,b] pidev, siis F(x) = ∫_a^x f(t) dt on pidev ja F'(x) = f(x); seega ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Rakendused: Integraale kasutatakse pindade, mahtude, töö ja tõenäosusteooria arvutamiseks ning füüsikas ja majanduses. Ajalugu: kontseptsioon on arenenud 17. sajandil Newtoni ja Leibnizi töös.