Incenteret

Incenteret er trekantens indre incentre, skæringspunktet af de indvendige vinkelhalveringslinjer. Det er centrum for trekantens indre cirkel, den cirkel der rører alle tre sider af trekanten.

Fra incenteret er alle tre afstande til trekantens sider lige store; denne fælles afstand betegnes radius R af den indre cirkel. Den indre cirkel rører siden BC i et punkt, siden CA i et andet punkt og siden AB i et tredje punkt.

Anvendelser og relationer: For en trekant med sider a = BC, b = CA, c = AB og areal Δ, semiperimeter s = (a+b+c)/2, har incenteret I afstand til hver side lig med r = Δ / s. Δ kan også beregnes med Herons formel: Δ = sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).

Koordinater: Hvis A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) er trekantens hjørner, og a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, så har incenteret koordinatet I = ( (a x1 + b x2 + c x3) / (a+b+c) , (a y1 + b y2 + c y3) / (a+b+c) ).

Opførelse og relationer: Incenteret opnås som skæringspunktet af de indvendige vinkelhalverere; det kan også findes som centrum af cirklen, der er tangent til alle tre sider. Der findes tre excentre, som er skæringspunkterne af eksterne vinkelhalverere; disse fire punkter er kendt som incentre og excentre.

Generelt: Begrebet incenteret gælder primært for trekanter; i ikke-trekant-polygoner findes ikke nødvendigvis en entydig indre cirkel. Begrebet bruges flittigt i geometriopgaver og konstruktioner.