Identiteedirelatsioon

Identiteedirelatsioon (diagonaalrelatsioon) on relatsioon A peal, mis seob iga elementi ainult sellega enda kohta. See on olemuselt kõige lihtsam võimalik relatsioon, kuna ühendab iga elemendi ainult iseendaga.

Vormiliselt defineeritakse identiteedirelatsioon Δ_A kui Δ_A = { (a, a) | a ∈ A }. See relatsioon on identiteetne, ehk ta on refleksiivne (kõigi a ∈ A korral (a, a) ∈ Δ_A), sümmeetriline (kui (a, b) ∈ Δ_A siis a = b ja seetõttu (b, a) ∈ Δ_A) ning transitiivne (kui (a, b) ∈ Δ_A ja (b, c) ∈ Δ_A, siis a = b = c ja (a, c) ∈ Δ_A). Seetõttu on identiteedirelatsioon klassikaline võrdelisuse relatsioon; tema võrdelisus jaotab A ühteks iga elemendi eraldi klassiks.

Relatsiooni saab vaadelda ka kui identiteedi funktsiooni id_A graafi A → A: see on kõigi a paari (a, a) kogum, mis kuvab iga elemendi samale elemendile. Selline lähenemine näitab, kuidas identiteedirelatsioon kirjeldab identiteedi toimingut nii relatsioonina kui ka funktsionaalse pola.

Näide: A = {1, 2, 3}. Δ_A = { (1,1), (2,2), (3,3) }. See on väikseim jaotuse alus ning iga klass on {1}, {2}, {3}.

Rakendused ja tähendus: identiteedirelatsioon on aluseks üldisel tasandil definitsioonidele ja teooriatele, kus tuleb eristada iga elementi eraldi. Ta mängib olulist rolli algebras, automaatikas, loogikas ja kategooriateoorias identiteedi morfismide ning identiteedi funktorite kontekstis.