Hessianmátrixok

Hessianmátrixok, vagy ismertebb nevén a Hesse-mátrixok, a differenciálgeometriában és a numerikus analízisben használt fontos matematikai fogalmak. Egy skalár-értékű függvény másodrendű parciális deriváltjaiból álló négyzetes mátrix. Ha egy f(x_1, x_2, ..., x_n) többváltozós függvényt tekintünk, akkor a Hesse-mátrixa egy n x n méretű mátrix lesz, ahol a (i, j) elem a függvénynek az x_i és x_j változók szerinti parciális deriváltja, azaz ∂²f / (∂x_i ∂x_j).

A Hesse-mátrixoknak számos alkalmazása van. Az optimalizálásban segítenek meghatározni egy függvény lokális szélsőértékeit. Ha egy kritikus pontban (ahol az összes elsőrendű parciális derivált nulla) a Hesse-mátrix pozitív definit, akkor ott lokális minimum, ha negatív definit, akkor lokális maximum található. Ha a mátrix indefinit, akkor nyereggörbéről van szó. A numerikus módszerek, mint például a Newton-módszer a többváltozós optimalizálásban szintén használják a Hesse-mátrixot a gyors konvergencia érdekében.

A Hesse-mátrix szimmetrikus, ha a függvény másodrendű parciális deriváltjai folytonosak (Schwarz tétel). Ez a tulajdonság számos számítási és elméleti megfontolást egyszerűsít. A mátrix definitségének vizsgálata kulcsfontosságú a függvény viselkedésének megértésében a kritikus pontok környékén.