Hauptdeterminanten

Hauptdeterminanten, im Deutschen oft als principal determinants oder principal minors bezeichnet, sind Determinanten von Hauptuntermatrizen einer quadratischen Matrix. Sei A eine n×n-Matrix. Für jedes nichtleere Indexpaar I ⊆ {1,...,n} bildet die Untermatrix A[I,I] die Hauptuntermatrix von Ordnung |I|, und det(A[I,I]) wird als Hauptdeterminante dieser Ordnung bezeichnet. Die Gesamtheit aller Hauptdeterminanten umfasst 2^n−1 Werte (ohne die leere Matrix). Führende Hauptdeterminanten, auch führende Hauptminoren genannt, entstehen, wenn I gleich {1,...,k} ist und k von 1 bis n läuft; det(A[1..k,1..k]) ist dann die führende Hauptdeterminante von Ordnung k.

Eigenschaften: Hauptdeterminanten hängen von der Wahl der Indizes ab; durch Permutationen der Zeilen und Spalten verschiebt sich entsprechend die Auswahl der Hauptuntermatrizen. Sie liefern Informationen über die Struktur der Matrix, insbesondere in Fragen der Positivitätseigenschaften. Bei symmetrischen Matrizen spielen sie eine zentrale Rolle in Kriterien zur Positivdefinitheit, vor allem im Sylvesterschen Kriterium.

Beispiel: Betrachte A = [[2,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,2]]. Die führenden Hauptdeterminanten sind det([2]) = 2, det([[2,-1],[-1,2]]) = 3, det(A) = 4. Alle Werte sind positiv, was mit der positiven Definitheit dieser Matrix übereinstimmt.

Siehe auch: Minor, Hauptminor, Sylvester-Kriterium, positive Definitheit, Matrixtheorie.