Határértéke

Határértéke, vagy határérték, a matematika egyik alapfogalma, amely megadja, hogy egy kifejezés értéke milyen értéket vesz fel, amikor a vizsgált változó egy adott pont felé tart vagy a végtelenhez közelít. A határértékek lehetnek létezőek vagy nem létezőek, és lehetnek végtelenek is.

Sorozatoknál a határérték az a szám, amelyhez a sorozat n-edik tagja közelít, amikor n növekszik. Formálisan: ha létezik L such that lim_{n→∞} a_n = L, akkor L a határértéke a sorozatnak. Függvényeknél egy adott pont környezetében a határérték az, amelyhez a függvény értékei közelednek, amikor a független változó x a megadott ponthoz közelít: lim_{x→a} f(x) = L. A jobb és bal oldali határértékek, illetve a végtelenhez tartó határértékek is értelmezhetők.

Sorozatoknál a határérték jelentkezik a részösszeg-sorozatok határértékeként is: ha S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, és lim_{n→∞} S_n = L, akkor a sorozat határértéke L. Ha a határérték nem, vagy nem érhető el, akkor a kifejezés divergens vagy végtelen határértéket vesz fel.

A határérték fogalmát gyakran formalizálják epszilon-N definícióval a függvényeknél és a sorozatoknál, és összefügg a folytonossággal, a deriválással és az integrálok értelmezésével is.