Halmazmveletek

Halmazműveletek a halmazokkal végzett alapműveletek összessége. A halmaz olyan elemekből álló gyűjtemény, amely lehet véges vagy végtelen. Gyakran az univerzális halmazt U környezetként tekintik, és a műveleteket ezen a környezeten értelmezik.

Az alapműveletek közé tartozik az unió, a metszet, a különbség és a komplementum. Az A ∪ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-ban vagy B-ben vagy mindkettőben szerepelnek; az A ∩ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mindkét halmazban benne vannak; az A \ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-ban vannak és nincsenek B-ben; a komplementum A^c (relatív az U-hoz) azokat az elemeket jelöli, amelyek nem A-ban találhatók.

Következő kiterjesztések: a szimmetrikus különbség A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A); a Cartesian termék A × B a párok halmaza; a részhalmaz A ⊆ B azt mondja ki, hogy minden A eleme B-ben van; a power set P(A) az A összes részhalmazának halmaza.

Jellemző tulajdonságok közé tartozik, hogy az unió és a metszet kommutatívak (A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A) és asszociatívak (pl. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C). Disztributivitás: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) és hasonló. De Morgan-törvények: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c és (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c.

Használata széleskörű a matematikában, informatikában, logikában és adatkezelésben; szemléltethető Venn-diagrammokon és alapozza a halmazalapú leírásokat.