kommutatívak

Kommutatívak, vagyis a kommutativitás fogalma a matematika alapvető tulajdonságaival foglalkozik. Egy bináris műveletet egy halmazon S akkor tekintünk kommutatívnak, ha minden a,b ∈ S esetén a*b = b*a. Más szóval a művelet sorrendje nem számít: ugyanazt az eredményt kapjuk, akár először a-t, majd b-t, akár fordítva.

A legismertebb példák közé tartozik a számok halmazán értelmezett adás és szorzás. Az egész, a racionális vagy a valós számok alatt (a+b) és (a·b) sorrendje nem befolyásolja az eredményt. Halmazelméletben a unió és a metszet is kommutatív: A∪B = B∪A és A∩B = B∩A minden A,B halmazra. A logikában a konjunkió (and) szintén kommutatív, mert A∧B = B∧A.

Az algebrai struktúrák között különösen fontosak az olyan rendszerek, amelyekben minden művelet kommutatív. Ilyen példákat találunk az abeli csoportokban (kommutatív csoportokban), ahol a csoportművelet teljesen kielégíti a kommutativitást. Kommutatív gyűrűk és modulok is alapvető példák, ahol a szorzás és skalárral való szorzás viselkedése megkönnyíti a számolást és a szerkezetek tanulmányát.

Fontos különbség, hogy nem minden matematikai rendszerben van kommutativitás. Sok területen a műveletek nem kommutatívak, például a mátrixszorzás általános esetben nem rendezhető át sorrendentől függetlenül. A kommutativitás tehát döntő tényező a szerkezetek felépítésében és a műveletek egyszerűsítésében.