Höchstmengen

Höchstmengen bezeichnet in der Mathematik die Menge der Punkte, an denen eine Funktion ihr Maximum erreicht, oder, je nach Kontext, die Menge der maximalen Elemente einer Teilordnung. In der Analysis betrachtet man eine Funktion f: D → R mit der Definitionsmenge D. Die Höchstmengen von f auf D ist die Menge { x ∈ D | f(x) = max_{y ∈ D} f(y) }. Existiert das Maximum nicht, ist die Höchstmengen leer.

Existenz und Eigenschaften: Falls D kompakt ist und f stetig, garantiert der Extremwertsatz, dass Höchstmengen nicht leer ist. Die Höchstmengen ist abgeschlossen; wenn D kompakt ist, ist sie auch kompakt. Ist die Funktion eindeutig maxierend, also es gibt genau einen Maximierer, so besteht Höchstmengen aus einem einzigen Punkt. Existieren mehrere maximale Werte, kann Höchstmengen eine Menge von Punkten sein, zum Beispiel ein ganzes Intervall, wenn die Funktion dort konstant ist.

Beispiele: Für f(x) = -(x − 0,3)^2 auf D = [0, 1] liegt das Maximum bei x = 0,3 und Höchstmengen {0,3}. Bei f(x) = −x^2 auf D = [−1, 1] ist das Maximum f(0) = 0, Höchstmengen {0}. Ist eine Funktion konstant, z. B. f(x) ≡ 2 auf D, dann ist Höchstmengen ganz D.

Verwandte Begriffe: Maximum, Extremwert, Supremum, Argmax. In der Praxis begegnet man Höchstmengen im Kontext von Optimierungsproblemen und dem Extremwertsatz.