Gerçel

Gerçel sayılar (gerçel sayılar kümesi), rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıları kapsayan sayılar bütünüdür. Genelde R ile gösterilir. Rasyonel sayılar ya sonlu ondalık gösterimle ifade edilir ya da tekrarlayan bir örüntüyle; irrasyonel sayılar ise sonsuz ve tekrarlanmayan ondalık dizileriyle ifade edilir. Gerçel sayılar, gerçek sayıların tümünü kapsar ve sık kullanılan bir kavramdır.

Gerçel sayılar kümesi, toplama ve çarpma işlemleri için kapalı olan ve sıralı bir alan olarak tanımlanır. Tamlık özelliği sayesinde her üst sınırlı kümenin en küçük üst sınırı vardır; bu da gerçek sayılar üzerinde limit ve birleşim kavramlarının güvenli biçimde tanımlanmasını sağlar. Ayrıca gerçel sayılar, ondalık gösterimlerle ifade edilebilir: rasyonellerin gösterimi ya sonlu ya da tekrarlayan, irrasyonellerin ise sonsuz ve tekrarlamayan gösterimleridir.

Tarihsel olarak gerçel sayı kavramı 19. yüzyılda Bolzano, Weierstrass, Cantor ve Dedekind gibi matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Dedekind kesimleri ve Cauchy limitleri kullanılarak rasyonellerle irrasyonellerin uyum içinde bir araya geldiği tamamlayıcı yapı kuruldu. Bu yaklaşım, analiz ve ölçme kuramının temel taşlarından biri haline geldi.

Günümüzde gerçel sayılar, analiz, sayı kuramı ve matematiksel modelleme başta olmak üzere pek çok alanda temel rol oynar. Küme olarak genelde R ile gösterilir ve çoğu teorem, bu kümenin özellikleri üzerinde ifade edilir.