Függvénytan

Függvénytan a matematika egyik alapvető ága, amely a függvények fogalmának és viselkedésének rendszerezett vizsgálatával foglalkozik. Egy függvény f: X → Y a domént X és a célhalmaz Y rendeli minden x ∈ X részére egy egyedi y = f(x) értéket. Az értelmezési tartomány a X, a kép pedig az Y-ban elérhető elemek halmaza. A grafikon a síkon szemlélteti a hozzárendelést.

Alapfogalmak közé tartozik a injektív, surjektív és bijektív függvény fogalma, a függvények kompozíciója és az inverz függvény létezése; utóbbi csak bijektív függvényekre értelmezhető. Továbbá gyakori tulajdonság a folytonosság, a monotóniatartás és a differenciálhatóság; a különféle típusú függvények közül kiemelkednek a polinomiális, racionális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények, amelyeket sajátos szerkezetük alapján vizsgálnak.

A függvénytan része a megoldandó problémák megkülönböztetése függvényegyenletek formájában, az iteráció és a kölcsönhatások vizsgálata. Emellett a függvények vizsgálata gyakran kapcsolódik a real analízishoz és a komplex analízishoz, ahol a határértékek, folytonosság és differenciálhatóság vizsgálata központi szerepet kap.

A függvénytan alapvető eszköze a modellezés és a bizonyítás: bármely természetes vagy mérnöki jelenség leírható egy függvénnyel, amelynek tulajdonságait alaposan elemezhetjük és összevethetjük más függvények sajátosságaival.