Funktsioonivahe

Funktsioonivahe on funktsioon, mis saadakse kahe sama määramisruumiga funktsiooni vahe kaudu. Kui f ja g on definitsiooniga f,g: X -> R (või X -> V, kus V on abel‘i rühm või vektorruum), siis funktsioonivahe f - g on h: X -> R (või V), mille väärtus igal x korral on h(x) = f(x) - g(x).

Funktsioonivahe omab loogilisi ja analüütilisi omadusi, mis tulenevad punktpaigal lahutamisest. Kui f = g, siis f - g on nullfunktsioon. Negatiiv on võrdne -(f - g) = g - f. Samuti kehtib (f - g) + (g - h) = f - h. Kui f ja g on pidevad (või mõõdetavad), on nende vahe vastavalt pidevuse (mõõdetavuse) omadustega. Kui f ja g kuuluvad ruumi, kus tehaste korral saab defineerida norme, siis võib defineerida kauguse d(f,g) = ||f - g||, mis annab funktsioonide vahelise lähestikku mõõdu. Puhtalt algebrailises plaanis kuuluvad f - g ja f, g samasse funktsiooniruumi.

Näited: Las f(x) = x^2 ja g(x) = 2x, siis h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x. Teine näide: f(x) = 1 oksa [0,1] ja g(x) = 0, siis h(x) = 1 kõigis x; see on samaaegselt konstantne ja samas määra ruumi element.

Rakendused hõlmavad funktsioonide võrdlemist, teksti või signaalide eristamist, ja kauguste arvutamist funktsioonide vahel erinevates ruumides (nt Lp- või sup-normide korral). Funktsioonivahe on põhiklass, mida kasutatakse paljudes matemaatika valdkondades.