Funktiovalikoimat

Funktiovalikoimat ovat joukkoja, joiden elementtinä ovat funktiot f: X → Y. Yleensä X on lähtöjoukko ja Y kohdejoukko, ja funktiovalikoima F on alijoukko kaikista X→Y -funktioista. Funktiovalikoima voidaan varustaa lisäinfrastruktuurilla: jos Y on kenttä (esim. R tai C) ja F on sulkeutuva pisteittäin määritellylle lisäykselle ja skalaarikertolaskulle, F on vektoriavaruus.

Yleisimmät esimerkit ovat C([a,b]), jatkuvien reaalifunktioiden joukko määrittelyjoukolla [a,b]; L^p(Ω), mitattavien funktioiden luokat, joissa määritellään p-normin kaltaisia etäisyyksiä; sekä ℓ^p-tilat, jotka koostuvat p-sarjoista. Näitä valikoita käytetään laajasti analyyttisessä ja tilastollisessa kontekstissa.

Normit ja topologiat: funktiovalikoimille voidaan antaa normi tai mitata, jolloin niiden avulla muodostuu mitta- ja topologiajärjestelmiä. Yleisiä esimerkkejä ovat sup-normi ||f||∞ = sup_{x∈X} |f(x)| sekä L^p-normi (∫|f|^p)^{1/p}. Näin F voi olla Banach-tila tai eräissä tapauksissa Hilbert-tila, jolloin tilalla on sekä täydellisyys että sisäkkäisyydet vastaavasti.

Erityistapaukset: L^p-tiloissa voidaan käsitellä equivalence-luokkia funktioista moduulien määriteltiin lähes-ei –jaon perusteella. Tämä on keskeistä mittausteoriassa ja funktionaattisessa analyysissä.

Sovelluksia: funktiovalikoimat ovat keskeisiä osa-alueita analyyttisessä matematiikassa, dierentalkaivauksissa, Fourier- ja harmonisessa analyysissä sekä approksimaatio- ja mallintamistehtävissä. See also: funktionaalinen analyysi, Banach-tila, Hilbert-tila.