Funkciók

Funkciók, vagy függvények, a matematikában olyan hozzárendelések, amelyek minden bemeneti elemhez pontosan egy kimeneti elemet rendelnek. Formálisan egy f: A → B hozzárendelés, A az értelmezési tartomány, B a célhalmaz (kódomain). Minden x ∈ A-ra f(x) ∈ B adódik; a függvény képét gyakran Im(f) vagy f(A)-nak hívjuk.

Függvények lehetnek injektívak, surjektívak vagy bijektívak. Injektív: különböző inputokhoz különböző kimenetek tartoznak. Surjektív: a célhalmaz minden eleme található valamilyen bemeneti elem képeként. Bijektív: egyszerre injektív és surjektív. Gyakori példák közé tartozik polinomok, racionális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények.

Grafikusan a függvény grafikonja az x–y síkon ábrázolható úgy, hogy minden bemeneti értékhez a hozzárendelt kimenet található. A vertikális vonalteszt segít megállapítani, hogy egy görbe függvény-e: ha minden x-hez legfeljebb egy y tartozik, akkor a görbe függvény.

Műveletek közé tartozik a kompozíció: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Invertálhatóság: ha f bijektív, létezik f^{-1}: B → A, és f^{-1}(f(x)) = x, valamint f(f^{-1}(y)) = y minden megfelelő y-re.

Alkalmazások: a funkciók a valós világ modellezésében és a számítástechnikában is alapvetőek. Gyakori példák közé tartozik f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = sin x, f(x) = ln x, és a piecewise függvények. A fogalom a matematika és a természettudományok számos területén elengedhetetlen.