bijektívak

A bijektívak, vagyis bijektív leképezések olyan függvények, amelyek egyszerre injektívak (egyértelműen megkülönböztetik a bemeneti elemeket) és surjektívak (minden célértékhoz tartozik bemeneti elem). Pontosabban: egy f : A → B függvény bijektív, ha minden x1 ≠ x2 esetén f(x1) ≠ f(x2), és minden y ∈ B-hez létezik olyan x ∈ A, hogy f(x) = y.

Az invertálhatóság szempontjából a bijektív függvénynek van invertálhatója, az úgynevezett f^{-1} : B → A függvény, amelyet úgy definielünk, hogy f^{-1}(y) = x akkor, ha f(x) = y. Az invertált függvény is bijektív, és összefüggésében f^{-1}(f(x)) = x és f(f^{-1}(y)) = y állnak. Ezzel a tulajdonsággal a két halmaz között jellegzetes, egy–egy–egy jellegű megfeleltetés jön létre.

Fontos következmény, hogy a bijektív leképezések egyértelműen meghatározzák az A és B halmazok kartiságát: ha A és B véges halmazok, akkor létezik bijekció csak akkor, ha a két halmaz azonosságának mérete megegyezik. Ha f bijektív, akkor a f meghatározott és jól viselkedő szerkezettovábbító eszköz, amely megőriz bizonyos tulajdonságokat és lehetővé teszi a B-t A-ra visszavezető átírásokat.

Példák: az identitásfüggvény id_A: A → A bijektív; bármely véges halmazon egyetlen eleme sem ütközhet, így a halmazok közötti bármely végrehajtott rendezés bijektív lehet. Egy konstans függvény nem bijektív, ha A legalább két elemű. A bijektív függvények összegzése és kompozíciója is bijektív, és minden bijektív függvénynek van inverse, amely szintén bijektív.