Fourieranalyysiin

Fourieranalyysi on matematiikan ala, joka tutkii funktion tai signaalin mahdollisuutta esittää sinimuotojen tai kompleksien eksponentiaalien summana. Idea ja periaatteet juontuvat Joseph Fourierin töistä 1800-luvulta, ja ne ovat muodostaneet keskeisen työkalun signaalien, kuvien ja fysikaalisten ilmiöidenAnalyysissä.

Fourier-sarja kuvaa jaksollisen funktion f(x) seuraavasti: f(x) = a0/2 + ∑_{n=1}^{∞} [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]. Koefisientit lasketaan usein perinteisillä integraaleilla a_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx ja b_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) sin(nx) dx, jolloin f:n arvo muodostuu näiden komponenttien summana. Samanlaista lähestymistapaa sovelletaan erilaisiin jakson pituuksiin ja epäsymmetriseen tilaan.

Fourier-tulo laajentaa idean ei-jaksoisiin funktioihin. F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt ja f(t) = (1/2π) ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω t} dω. Tässä spektri kuvaa signaalin taajuuskomponenttien voimakkuuksia, ja konvoluutio voidaan muuntaa kertolaskuksi taajuusdomenissa.

Diskreetissä tapauksessa käytetään DFT:tä (discrete Fourier transform) ja sen nopeaa toteutusta FFT:ää (fast Fourier transform). DFT soveltuu digitaalisiin signaaleihin: X_k = ∑_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i 2π k n / N}.

Sovelluksia on laajasti signaalin ja äänen spektrianalyysissä, kuvankäsittelyssä sekä ratkaisujen saamissa osittaisdifferentiaaliyhtälöille, kuten lämmön- ja aaltoliikkeen sekä joidenkin kvanttimekaanisten malleja. Fourier-analyysi on osa harmonisen analyysin kenttää ja sitä käytetään usein yhdessä muiden menetelmien kanssa.