Fourieranalízis

Fourieranalízis a matematikai analízis egyik ága, amely a függvények vagy jelek szinuszos alapelemekre bontását és ezeken keresztüli újraépítését vizsgálja. Magába foglalja a Fourier-sorokat, a Fourier-transzformációt és a kapcsolódó módszereket. Célja általában a jel frekvenciaszerkezete megértése: mely frekvenciák dominálnak, hogyan viselkedik a jel az időben. A terület története Jean-Baptiste Joseph Fourier hővezetési problémáinak megoldásával kezdődött a 19. században, majd a Dirichlet, Lebesgue és más matematikusok részvételeivel alakult ki a formális keretrendszer.

A Fourier-sorok egy periodikus függvényre (általában periodicitás 2π) történő kifejtést adnak: f(x) = a0/2 + ∑_{n=1}^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]. Az együtthatók a függvény integráljaival számíthatók, és a sor ortogonális alappal rendelkező elemek lineáris kombinációja. A konvergencia kérdéseket többféle értelemben vizsgálják: pontbeli, egyenletes vagy L2 értelemben vett konvergencia. A Gibbs-jelenség is felmerülhet a hirtelen váltások közelítésénél.

A Fourier-transzformáció a nem periodikus jelekre is kiterjed: f̂(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-iωt} dt; az inverz transzformáció f(t) = (1/2π) ∫ f̂(ω) e^{iωt} dω. Az idő- és frekvenciasík közötti dualitás megkönnyíti a spektrumok elemzését, és a Plancherel-tétel szerint az L2-színben megkapott energiák egyenlők a frekvencia-tartományban is. Feltételek között gyakran L1 vagy L2, vagy Schwartz-típusú függvények szerepelnek.

Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) és gyors Fourier-transzformáció (FFT) modern számítógépes alkalmazások alapjai: adatok gyors elemzése, jel- és képfeldolgozás, megoldások differenciálegyenletekre, valamint a fizikában és a mérnöki tudományokban. Így a Fourieranalízis sok területen nélkülözhetetlen eszköz.