Flächenprodukte

Flächenprodukt bezeichnet in der Mathematik einen bilinearen, antisymmetrischen Operator, der zwei Vektoren auf eine Fläche abbildet, genauer gesagt auf einen bivector, der die orientierte Fläche des Parallelogramms spannt. Der Begriff wird insbesondere als Bezeichnung des exterior products, des äußeren Produkts, verwendet.

Für Vektoren u, v in einem euklidischen Raum R^n definiert man u ∧ v als das bivector-Element mit den Komponenten u_i v_j − u_j v_i in der Basis e_i ∧ e_j; es gilt Bilinearität und Antisymmetrie: u ∧ v = − v ∧ u.

Die Größe des Flächenprodukts entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, der durch die Norm von u ∧ v gegeben ist. In drei Dimensionen ist das Flächenprodukt durch den Vektorprodukt (Kreuzprodukt) dualisiert: Der Dual-Vektor von u ∧ v entspricht dem Normalvektor der Parallelogrammfläche, und seine Länge ist der Flächeninhalt.

Verallgemeinert man weiter, lässt sich das äußere Produkt auf Differentialformen anwenden – das Wedge-Produkt –, wodurch man höhere Flächenformen wie dx ∧ dy erzeugt. Es beschreibt Orientierung und führt zu Integrationen über Mannigfaltigkeiten.

Historisch stammt der Begriff aus der Exterior Algebra, die Grassmann entwickelte; in moderner Terminologie spricht man oft von der äußeren Algebra und dem wedge-Produkt. Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik (etwa Formulierungen mit 2-Formen in der Elektrodynamik) und Computer Graphics.