Flateområdet

Flateområdet er et geometrisk begrep som angir størrelsen til en avgrenset region i et plan. Det måles i kvadratenheter, som kvadratmeter eller kvadratcentimeter. Arealet til en region i planet er invariant under translasjon og rotasjon; flyttes eller speiles regionen beholder sitt areal.

Beregningsmetoder: For figurer med rette kanter kan arealet beregnes med shoelace-formelen for polygoner; for rettvinklede figurer er arealet produktet av lengde og bredde; for sirkler er arealet πr^2; for trekanter er arealet 1/2 × grunnlinje × høyde. For mer komplekse regioner benyttes integralregning; arealet kan beregnes som et dobbeltintegral over regionen: ∬_D dA. For lattice-polygoner finnes også Pick's teorem: A = i + b/2 - 1, hvor i er antall indre punkter og b er antall punkter på grensen.

Egenskaper: Arealet er ikke-negativt og additivt over disjunkte regioner; arealet av en region er alltid mindre eller lik arealet av en region som inneholder den. I avanserte sammenhenger defineres areal gjennom Lebesgue-måling, noe som gjør at det gjelder for mer komplekse og ikke-triangulerbare figurer.

Anvendelser: Flateområdet er sentralt i geometri, arkitektur, kartografi, fisikk og sannsynlighet, da det gir et mål på størrelsen til overflater og regioner i plan. Historisk har begrepet utviklet seg fra elementær geometri til moderne måleteori.