Fibonaccilukuja

Fibonaccilukuja ovat järjestys, joka määritellään periaatteella F0 = 0, F1 = 1 ja F(n) = F(n−1) + F(n−2) kaikilla n ≥ 2. Tulosjono alkaa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ja siitä käytetään nimitystä Fibonacciluvut.

Luvut ilmestyvät monissa matemaattisissa ja luontoon liittyvissä yhteyksissä. Kasvu on likimain eksponentiaalista, ja peräkkäisten termien suhde lähestyy kultaisen leikkauksen suhdetta φ ≈ 1,618. Luvun suljetun muodon antava Binetin kaava on F(n) = (φ^n − ψ^n)/√5, jossa φ = (1 + √5)/2 ja ψ = (1 − √5)/2. Fibonacciluvut ominaisuuksineen esiintyvät muun muassa modulo-alueilla ja niillä on monia graafisia sekä lukuteoreettisia ominaisuuksia, kuten että F(k) | F(n) kun k | n, ja että F(n) on parillinen vain silloin, kun n on kolmen monin.

Historian osalta Fibonacciluvut ovat nimetty Leonardo of Pisaen, eli Fibonacin mukaan, jonka Liber Abaci -teos julkaistiin vuonna 1202. Ennen Fibonaciaa Intian matemaatikot, kuten Virahanka, Gopāla ja Hemachandra, olivat tutkineet samankaltaisia lukusarjoja, ja seikka on sittemmin tunnettu varhaisista itämaisista lähteistä, sekä myöhemmin eurooppalaisista opettajakonteista.

Sovelluksia löytyy lukuteoriasta ja combinatoriikasta sekä luontoon, kuten kasvien varsien ja siementen muodostumisessa ilmenneitä spiraaleja ja järjestelmiä. Fibonacciluvut toimivat myös yleisenä välineenä oppimisessa, liittyen esimerkiksi koostumukseen, summalaskuihin ja rekursiivisiin rakenteisiin.