Feilfunksjon

Feilfunksjonen, betegnet erf, er en spesialfunksjon i matematikk definert ved erf(x) = (2/√π) ∫_0^x e^{-t^2} dt for alle reelle x. Den er en entire funksjon og er odd, slik at erf(-x) = -erf(x). Grenseverdiene er erf(−∞) = −1 og erf(∞) = 1. Derivert av erf er erf'(x) = (2/√π) e^{-x^2}. Integralet representerer Gaussian-integraler og opptrer ofte i kombinasjon med normalfordelingen.

Relaterte funksjoner og identiteter: erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫_x^∞ e^{-t^2} dt, og brukes som komplementær feilfunksjon. Sammenheng til normalfordelingen: Φ(x) = 1/2 [1 + erf(x/√2)], slik at feilfunksjonen ofte brukes til å beregne sannsynligheter for standardnormalfordelte variabler. Serie og asymptotikk: erf(x) kan uttrykkes som erf(x) = (2/√π) ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(n!(2n+1)). For store x gir erfc(x) et asymptotisk uttrykk: erfc(x) ∼ e^{-x^2}/(√π x) [1 − 1/(2x^2) + 3/(4x^4) − ...].

Bruk og beregning: erf og erfc er standardverktøy i sannsynlighet og fysikk, særlig ved beregning av Gaussiske sannsynligheter og ved løsning av diffusjons- og varmestrømsproblemer. De finnes i de fleste matematiske bibliotek og numeriske verktøy, med nøyaktige implementasjoner for ulike verdier av x.