Extremvärdesfördelning

Extremvärdesfördelning, inom statistik, är namnet på en familj av sannolikhetsfördelningar som beskriver beteendet hos de största (eller minsta) värdena i ett stort antal oberoende observationer. Teorin fokuserar på vad som händer med extrema värden när urvalet växer och används för att modellera sällsynta händelser som återkommer med låg frekvens.

Fisher–Tippett–Gnedenko-teoremet säger att maxima av i.i.d. prover, efter lämplig linjär normalisering, konvergerar till en begränsad distributionsform känd som Generalized Extreme Value (GEV). GEV omfattar tre familjer: typen I (Gumbel), typen II (Frechet) och typen III (Weibull). Dessa skiljer sig åt i hur tailen beter sig och i stödet.

Den gemensamma formen av GEV-fördelningen ges av F_GEV(z) = exp(-[1+ξ((z-μ)/σ)]^{-1/ξ}) för 1+ξ((z-μ)/σ) > 0, där μ är platsparameter, σ>0 är skala och ξ är formparameter. Vid ξ→0 övergår den till Gumbel-fördelningen: F(z) = exp(-exp(-((z-μ)/σ))). För ξ>0 är stödet z>μ-σ/ξ (Frechet), för ξ<0 är stödet z<μ-σ/ξ (Weibull).

Användningar och estimation: extremvärdesfördelningar används inom hydrologi, meteorologi och finans för att modellera återkomströrelser och risker, till exempel årliga maxima av nederbörd, flöden eller vindhastigheter. Parametrar skattas vanligtvis med maximum likelihood eller Bayesian metodik. Diagnostik inkluderar Q-Q- och return level-analys. Return level r_T definieras via F(r_T) = 1 - 1/T; för ξ≠0 finns en specifik form, och för ξ=0 blir r_T μ + σ ln T.