Eulerflöden

Eulerflöden är en klass vätskeflöden som beskrivs av Euler-ekvationerna, dvs. inviscida flöden där viscösiteten antas vara försumbar. Det finns två huvudsakliga varianter: inkompressibla Eulerflöden med konstant densitet och ∇·u = 0, samt kompressibla Eulerflöden där densiteten ρ varier över plats och tid.

De grundläggande ekvationerna utgörs av mass- och rörelsemekanismerna. För kompressibla flöden är kontinuitetslikningen ∂t ρ + ∇·(ρu) = 0 och rörelseekvationen ∂t u + (u·∇)u = - (1/ρ) ∇p + f. För inkompressibla flöden med konstant ρ gäller ∇·u = 0 och samma rörelseekvation. Dessa ekvationer saknar viskositet och termisk diffusionsinslag.

Växlingar i flödet präglas av vorticitet, ω = ∇×u. Inom inkompressibel Euler följer vorticitetsekvationen ∂t ω + (u·∇)ω = (ω·∇)u, vilket beskriver vorticitetens transport och sträckning. Irrotationsflöden har ω = 0 och kan ofta beskrivas som potentialflöden där u = ∇φ och Bernoullis princip gäller längs strömningarna.

Matematiska aspekter: Eulerflöden kan i kompressibel version ge upphov till stötar, vilket kräver svaga lösningar och entropyvillkor. Global existens och regelbundenhet i tre dimensioner är ett centralt öppet problem inom matematisk analys; Beale–Kato–Majda-kriteriet kopplar möjlig blow-up till tillväxten av vorticiteten.

Historik och tillämpningar: Eulerflöden används inom aerodynamik, meteorologi och oceanografi där viskositetens effekt anses liten. De grundläggande ekvationerna utvecklades av Leonhard Euler under 1700-talet som ett verktyg för inviscida vätskeflöden.