Epäkonveksissa

Epäkonveksisuus on ominaisuus, jota käytetään matematiikassa, geometriassa ja optimoinnissa kuvaamaan tiloja, jotka eivät täytä konveksisuuden ehtoja. Joukko S on epäkonveksi, jos on olemassa pisteet x ja y kuuluvat S sekä luku t, 0 < t < 1, siten että yhdistetty piste (1−t)x + t y ei kuulu S. Jos tällaista paria ei ole, S on konveksi.

Konveksuus tarkoittaa käytännössä sitä, että jokainen suora liitos kahden pisteen välillä leikkaa tai pysyy kokonaisuudessaan tilan sisällä. Epäkonveksisuus taas mahdollistaa tilanteet, joissa jokin tällainen suoran leikkaus jää ulkopuolelle. Tämä ilmenee erityisesti alueilla, joissa on reikiä, ulkonevia ulokkeita tai useita epäyhtenäisiä osia. Esimerkkejä ovat annulus eli rengasmainen alue, U-kirjaimen muotoinen alue sekä kahden erillisen alueen yhteenliittymät.

Vaikutukset ja sovellukset: epäkonveksit tilat monimutkaistavat optimointia, sillä paikallinen minimi ei välttämättä ole globaali minimi. Tämä tekee gradientti- ja tauko- eli heurististen menetelmien käyttökelpoiseksi, mutta ei aina riittävästi. Konveksien menetelmien avulla voidaan saada ratkaisuja, jotka ovat likimääräisiä tai osittaisia, esimerkiksi konveksin hullun (convex hull) käyttämällä. Epäkonveksisuus esiintyy sekä jatkuvissa että diskreeteissä ongelmissa ja on keskeinen käsite muun muassa taloustieteessä, operaatioanalyysissä sekä geometriassa.

Lisäksi eräät funktiot voivat olla epäkonveksia; epäkonveksin funktio ei täytä konveksuuden ehtoa f(tx + (1−t)y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y) kaikissa x, y ja t.