Epäjatkuvuudesta

Epäjatkuvuudesta tarkoitetaan tilaa, jossa funktio f ei ole jatkuva tietyllä pisteellä. Jatkuvuus pisteessä x0 määritellään siten, että raja-arvo lim x→x0 f(x) on olemassa ja yhtä suuri kuin f(x0). Jos näin ei ole, funktio on epäjatkuva pisteessä x0. Jatkuvuus koko määrittelyalueella tarkoittaa, että ehto täyttyy jokaisessa pisteessä.

Epäjatkuuduudella on useita yleisiä muotoja. Poistettavissa oleva epäjatkuvuus syntyy, kun raja-arvo lim x→x0 f(x) on olemassa, mutta f(x0) on annettu eri arvoksi. Tämän tyypin korjaaminen toteutuu määrittämällä f(x0) arvoon lim x→x0 f(x), jolloin pisteestä tulisi jatkuva. Hyppypisteen epäjatkuvuus ilmenee, kun vasen ja oikea raja-arvo ovat eri suuria, jolloin funktio “hyppää” arvoaan. Ääretön epäjatkuvuus tarkoittaa, että raja-arvoja ei ole tai ne ovat äärettömiä.

Esimerkkejä: Funktio f(x) = sin(1/x) (määritelty siten, että f(0)=0) on epäjatkuva pisteessä 0, koska raja-arvoa x→0 ei ole. Toinen esimerkki: g(x) = (x^2-1)/(x-1) määritelty x≠1 ja g(1)=0 on poistettavissa oleva epäjatkuvuus, sillä lim x→1 g(x) = 2. Epäjatkuvuudet ovat keskeisiä käsitteitä analyysissä: ne vaikuttavat derivoituvuuteen ja voivat silti sallia erilaista integraatiota.