Eloszlás

Eloszlás jelentése a valószínűségek térképe egy véges vagy végtelen számú kimenetel között. Egy véletlen változó X eloszlása leírja, milyen valószínűséggel produkálódnak az egyes kimenetek. Az eloszlást gyakran valószínűségi tömegfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel adjuk meg, és kifejezi a különböző értékekhez rendelt valószínűségeket.

Diszkrét és folytonos eloszlás. Diszkrét eloszlásoknál X értékei számszerűsíthetők, és a PMF-nek nevezett tömegfüggvény p(k) = P(X = k) adja meg a valószínűségeket. Folytonos eloszlásoknál X értékei egy intervallumban folytonosak, és a PDF-nek nevezett sűrűségfüggvény f(x) úgy adja meg a valószínűségeket, hogy P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx, és ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. A közös jellemzőjük, hogy a valószínűségek összesége 1.

Eloszlási függvény és momentumok. Az eloszlást F(x) = P(X ≤ x) adja meg, amely a diszkrét esetben lépésfüggvény, a folytonos esetben sima görbe. A várható érték E[X] és a variancia Var(X) az eloszlás sajátos mérőszámai; diszkrét esetben E[X] = ∑ k k p(k), folytonos esetben E[X] = ∫ x f(x) dx, ha a határértékek léteznek.

Gyakori példák. Diszkrét eloszlások: Bernoulli, Binomial, Poisson. Folytonos eloszlások: Normális (Gauss), Egyenletes, Exponenciális, Gamma. Minden eloszlás rendelkezik meghatározott paraméterezéssel, amely a jelenség jellemzőit írja le.

Alkalmazások. Eloszlásokkal modellezünk bizonytalanságot, végzünk becsléseket, hipotézisvizsgálatokat, és sürű szimulációkat végezünk Monte Carlo módszerekkel. Empirikus eloszlások a megfigyelésekből nyerhetők ki, hiszen a gyakorlati adatkészletek visszavezethetők rájuk.