Exponenciális

Exponenciális kifejezés a matematikában olyan jelenségekre és függvényekre utal, amelyek növekedése vagy csökkenése arányos az aktuális értékkel. A leggyakoribb példa az exponenciális függvény.

Az exponenciális függvény általános alakja y = a^x, ahol a > 0 és a ≠ 1. A természetes alapú változat, y = e^x, különösen fontos a matematikában és a természettudományokban. Az általános függvény deriváltja f'(x) = a^x ln(a); így az e^x esetén f'(x) = e^x. Az y = a^x függvény invertálója a logaritmus log_a(x).

Exponenciális növekedés esetén a > 1, a függvény növekszik, és x → ∞-nél y → ∞, míg x → −∞-nél y → 0. Exponenciális csökkenés esetén 0 < a < 1; a függvény monoton csökken, és x → ∞-nél y → 0, x → −∞-nél y → ∞. A növekedés mértéke arányos az aktuális értékkel.

Jellemző tulajdonságok közé tartozik, hogy a függvény értékei 0 felé haladnak, amikor x növekszik, és a természetes függvény esetében a derivált maga a függvény. Az exponenciális függvény számos alkalmazásban jelenik meg: kamatos kamat számításában, populáció- vagy biológiai növekedésben, radioaktív bomlásban és hőátbocsátást modellező folyamatokban.

Exponenciális eloszlás egy fontos valószínűségi modell, melynek sűrűségfüggvénye f(x) = λ e^{-λ x} (x ≥ 0). Ezt memóriahatás nélküli események közötti idő-intervallumok leírására használják.