Eksponentialijakauma

Eksponentialijakauma on jatkuva todennäköisyysjakauma, jota käytetään usein mallintamaan tapahtumien välisiä aikoja, kuten järjestelmän epäonnistumis- tai saapumis­aikoja. Jakauman tiheysfunktio on f(x) = λ e^(−λx) for x ≥ 0, missä λ > 0 on taajuusparametri (rate). Kertymäfunktio (CDF) on F(x) = 1 − e^(−λx) for x ≥ 0, ja F(x) = 0 for x < 0.

Odotusarvo ja varianssi ovat E[X] = 1/λ ja Var(X) = 1/λ^2. Jakauma on muistineutraali (memoryless): P(X > s + t | X > s) = P(X > t) kaikille s, t ≥ 0. Tämä ominaisuus erottaa eksponentialijakauman monista muista jakautumisista.

Parametrointi voidaan vaihtoehtoisesti ilmaista aste-parametrilla θ = 1/λ (scale). Sillä on sama tiheys muotoon f(x) = (1/θ) e^(−x/θ) x ≥ 0.

Suhteellinen yhteys Poisson-prosessiin: jos tapahtumat tapahtuvat keskimääräisellä nopeudella λ, järjestelmän välimatkat ovat eksponentialijakautuneita. Usean eksponentialin summasta saa Gamma-jakauman: X1 + … + Xk ~ Gamma(k, λ).

Tilastollinen estimointi: maksimilaatus estimaattori λ̂ = n / ∑ xi, missä xi ovat havainnoituja välimatkoja. Parametrin estimointi tai luottamusvälit voidaan suorittaa sekä MLE- että Bayesian-menetelmin.

Eksponentialijakaumaa sovelletaan laajasti käytännön ongelmissa, kuten palveluaikojen, laitteiden luotettavuuden ja elinikäanalyysien mallinnuksessa.