Eksponentiaalit

Eksponentiaalit eli eksponentiaalifunktiot ovat funktioita, jotka ovat muotoa f(x) = a^x. Perusta a on positiivinen luku, ja a ≠ 1. Erityinen ja keskeinen poikkeus on luonnollinen eksponentiaalifunktio e^x, jonka perusta on Eulerin luku e ≈ 2,71828.

Ominaisuudet: Jos a > 1, funktio on kasvava; jos 0 < a < 1, se on aleneva. f(0) = 1 ja f(x+y) = f(x) f(y), joten eksponentiaalifunktiot tekevät kertolaskun lineaariseksi logaritmien suhteen. Ne ovat jatkuvia ja derivoituvia kaikkialla; derivaatta d/dx a^x = a^x ln(a). Erityisen tärkeä on d/dx e^x = e^x.

Inverse ja logaritmit: eksponentiaalifunktio on logaritmin kuva ja päinvastainen funktio. Luonnollinen logaritmi ln x on logaritmi, jonka pohja on e, ja x = e^{ln x}.

Sovellukset ja esimerkit: ratkaisut differentiaaliyhtälöihin kuten N'(t) = k N(t) antavat N(t) = N0 e^{kt}. Eksponentiaalit ilmenevät jatkuvassa kasvussa ja hajoamisessa, kuten populaation kasvu, radioaktiivinen hajoaminen, kemiallinen kinetiikka sekä rahoituksessa jatkuva korko A = P e^{rt}. Niiden käyttömallit kattavat sekä luonnolliset että taloudelliset ilmiöt.