Egenvärdesrummen

Egenvärdesrummen, eller eigenspaces, är en central konstruktion i linjär algebra som kopplar en linjär avbildning till dess särskilda vektorer. För en linjär avbildning T: V → V över fältet F och ett eigenvalue λ i F definieras eigensrummet E_λ som E_λ = { v ∈ V | T(v) = λ v }. Detta är kärnan till operatorn T − λI och utgör ett underrum i V. Alla vektorer i E_λ, inklusive nollvektorn, uppfyller alltså relationen T(v) = λ v och kallas eigenvektorer med värdet λ.

Dimensionen av E_λ kallas den geometriska multipliciteten för λ. Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten (antalet gånger λ är ett egenvärde i karaktäristiska polynomet). E_λ är invariant under T och E_λ kan beskrivas som lösningsmängden till (T − λI)v = 0.

Egenskaper och användning: Olika egenvärden har olika eigensrum som endast har nollvektorn gemensam, och vektorer från olika E_λ är linjärt oberoende. Om summan av dimensionerna för E_λ över alla egenvärden λ spans V, så är T diagonaliserbar och V kan skrivas som en direkt summa av eigensrummen. Detta underlättar ofta kraftigt att analysera och diagonalisa T.

Hur man beräknar E_λ: Beräkna egenvärdena genom att lösa det karakteristiska polynomet det(A − λI) = 0. För varje hittat λ löser man (A − λI)x = 0 för att få en bas till E_λ. Exempel: för A = [[3,1],[0,2]] har λ_1 = 3 med E_3 = span{(1,0)} och λ_2 = 2 med E_2 = span{(1, -1)}.