Dämpningsförhållande

Dämpningsförhållande, vanligtvis betecknat ζ, är ett mått på hur mycket dämpning ett dynamiskt system har i förhållande till den kritiska dämpningen. Det är en dimensionslös kvot som används i mekaniska, akustiska och elektroniska system samt i kontrollteori. För ett enkelt mass-spring-dampar-system beskrivet av m x¨ + c x˙ + k x = 0 är den kritiska dämpningen c_crit = 2 sqrt(m k) och damping ratio ζ = c / c_crit = c / (2 sqrt(m k)). Naturlig frekvens ω_n = sqrt(k/m).

Beroende på ζ uppträder tre huvudsakliga lägen: underdämpat 0 < ζ < 1 (svängningar som avtar exponentiellt), kritisk dämpning ζ = 1 (snabbaste icke-svängande återgång) och överdämpat ζ > 1 (återgång utan svängning, längre än vid kritisk). Dämpningsförhållandet styr transientens egenskaper: mindre ζ ger snabb initial respons men större överslag och längre tid att nå stabil nivå; högre ζ minskar överslaget men förlänger återgången.

Praktiska samband: för 0 < ζ < 1 finns ett överskott M_p ≈ exp(-π ζ / sqrt(1-ζ^2)) och en ungefärlig återgångstid t_s ≈ 4/(ζ ω_n) för en cirka 2 %-kriterium. I design används ofta ζ mellan cirka 0.2 och 0.8 beroende på krav på hastighet och stabilitet. I elektriska RLC-kretsar motsvarar dampingförhållandet ζ = (R/L) / (2 ω_n) = R / (2) sqrt(C/L).