Divisorfunksjonen

Divisorfunksjonen, ofte kalt divisorfunksjonen eller tau-funksjonen, er en aritmetisk funksjon som teller antall positive divisorer til et heltall. For hvert n ≥ 1 gir den verdien d(n), og funksjonen blir ofte skrevet som d(n) eller τ(n). I praksis er d(n) også identisk med funksjonen σ0(n), som er standard betegnelser i tallteori.

Hvis n har primfaktorisering n = ∏ p_i^{a_i}, er d(n) lik produktet av (a_i + 1) over alle i: d(n) = ∏ (a_i + 1). Funksjonen er multiplicativ, hvilket betyr at hvis gcd(m, n) = 1, så er d(mn) = d(m) d(n). Den kan også uttrykkes som en Dirichlet-konvolusjon d = 1 * 1, hvor 1(n) = 1 for alle n.

Til n hører også en Dirichlet-serie: ∑_{n≥1} d(n)/n^s = ζ(s)^2 for Re(s) > 1, der ζ er Riemanns zeta-funksjon. Dette kobler divisorfunksjonen til den dype strukturen i tallteorien og til uendelig små og store tall i analysen.

Selv om d(n) også betegnes som σ0(n), må man ikke forveksle med σ(n) som er summen av divisorer: σ(n) = ∑_{d|n} d.

Eksempel: d(1) = 1, d(6) = 4 (divisorene 1, 2, 3, 6), og d(12) = 6.

Divisorfunksjonen kan generaliseres til divisorfunksjoner av orden k: σ_k(n) = ∑_{d|n} d^k, og d(n) = σ_0(n). Den brukes mye i analyser av tall og i studier av fordelinger av divisorer.