Differenzierungsrichtung

Die Differenzierungsrichtung bezeichnet in der Analysis die Richtung, in der eine Funktion differenziert wird oder in der man ihre Änderung betrachtet. Sie ist eng verbunden mit der Richtungsableitung und mit dem Gradienten, der die Richtung des stärksten Anstiegs angibt.

Für eine Funktion f: R^n → R und einen Punkt x ∈ R^n sowie eine Einheitsrichtung v mit ||v|| = 1 definieren wir die Richtungsableitung D_v f(x) als D_v f(x) = lim_{h→0} [f(x + h v) − f(x)]/h. Wenn f in x differenzierbar ist, gilt D_v f(x) = ∇f(x) · v. Damit hängt die Richtungsableitung linear von der gewählten Richtung ab und lässt sich über den Gradienten berechnen.

Der Gradient ∇f(x) ist der Vektor der partiellen Ableitungen: ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). Er zeigt die Richtung des größten Anstiegs der Funktion; der maximale Wert der Richtungsableitung in x ist ||∇f(x)||, erreicht in der Richtung ∇f(x)/||∇f(x)||.

Beispiel: Sei f(x,y) = x^2 + y^2. Dann ∇f(x,y) = (2x, 2y). Am Punkt (1,2) ist ∇f = (2,4). Die Richtung des stärksten Zuwachses ist der Einheitsvektor u = (2,4)/√20; die Richtungsableitung in dieser Richtung beträgt ∇f · u = √20 ≈ 4.472. Der maximale Richtungswert ist √20.

Anwendungen: In der Optimierung steuern Gradientenabstieg bzw. -anstieg die Suche nach Minima bzw. Maxima. In der Praxis liefern Richtungsableitungen oft nützliche Informationen, insbesondere an Stellen, an denen f nicht oder nicht eindeutig differenzierbar ist.