Differensiaaligeometriassa

Differensiaaligeometriassa tutkitaan geometrisia muotoja ja avaruuksia differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan avulla. Sen keskeisiä käsitteitä ovat käyrät, pinnat ja yleisemmät monistot, joita kuvataan matemaattisilla funktioilla. Diferensiaaligeometria mahdollistaa esimerkiksi käyrien kaarevuuden tai pintojen tilavuuden ja pinta-alan laskemisen tarkasti.

Tärkeimpiä työkaluja differensiaaligeometriassa ovat differentiaalilaskennan käsitteet, kuten derivaatat, jotka auttavat ymmärtämään muotojen paikallista käyttäytymistä. Yleisempiä monistoja, jotka voivat olla moniulotteisia, kuvataan usein lokaalisti euklidisina avaruuksina, joihin on liitetty differentiaalirakenteita. Tällöin käytetään hyväksi esimerkiksi tangenttiavaruuksia, jotka edustavat moniston "litteää" approksimaatiota tietyssä pisteessä.

Differensiaaligeometrialla on sovelluksia monilla tieteenaloilla. Esimerkiksi fysiikassa yleinen suhteellisuusteoria kuvaa gravitaatiota aika-avaruuden kaarevuutena, joka on keskeinen differensiaaligeometrian sovellusalue. Myös tietokonegrafiikassa, konenäössä ja robotiikassa hyödynnetään differensiaaligeometrian periaatteita objektien mallintamisessa ja niiden liikkeen analysoinnissa. Sen avulla voidaan myös tutkia esimerkiksi navigointijärjestelmien toimintaa ja kartografian perusteita.