Diagonaliseringsnedbrytning

Diagonaliseringsnedbrytning er en måte å representere en kvadratisk matrise A på gjennom formelen A = PDP^{-1}, der D er en diagonal matrise og P er invertibel. Kolonnene i P utgjør et basis av egenvektorer for A, og D inneholder de tilhørende egenverdiene langs diagonalen. Denne framstillingen gir en enklere måte å arbeide med matrisen på, spesielt ved potensberegning og løsning av ligningssystemer.

En matrise er diagonaliserbar hvis det eksisterer et funksjonelt basis av egenvektorer i det aktuelle feltet. Dette skjer hvis antallet lineært uavhengige egenvektorer tilsvarer dimensjonen (d.v.s. at egenvektorrommene gir full basis), eller equivalently hvis den minste polynomet til A splittes i enkle rette faktorer (ingen gjentatte røtter i feltet). Når egne verdier er distinkte, er A alltid diagonaliserbar.

Prosedyren er: beregn egenverdiene ved løsningen av det karakteristiske polynomet det(A - λI) = 0; for hver egenverdi λ finn en toler egenvektor v og bygg P av disse vektorene som kolonner. D fås som diag(λ1, λ2, …). Dersom P er invertibel, gir A = PDP^{-1} diagonaliseringsnedbrytningen. Egenskapen er spesielt nyttig for beregning av potenser, da A^k = PD^kP^{-1}.

Begrensninger og anvendelser inkluderer at ikke alle matriser er diagonaliserbare, og at diagonaliserte former ofte forenkler løsning av differensialligninger og numeriske beregninger. For eksempel kan A = [[2,1],[0,3]] diagonaliseres med egenverdier 2 og 3, egnevektorer (1,0) og (1,1), og P = [[1,1],[0,1]] slik at A = PDP^{-1} med D = diag(2,3).