Diagonaliseeritavuus

Diagonaliseeritavuus tarkoittaa tilannetta, jossa n×n-matriisi A on diagonaalisoitavissa. Tämä tarkoittaa, että löytyy säännöllinen (invertiibeli) P siten, että P^{-1} A P on diagonaalinen matriisi. Diagonaalisointi on mahdollista, kun A:lla on riittävästi lineaarisesti riippuvaisia omaisvektoreita.

Toinen, käytännön tapa sanoa, on että A:lla on n lineaarisesti riippuvaa omaisvektoria, jotka muodostavat koko perusjoukon. Tällöin P:n kolmenaan ovat nämä omaisvektoreita ja P^{-1} A P on diagonaalinen. Tämä on sama kuin A:lla on täydellinen eigenarvot ja jokaiselle eigenarvolle on omaisvektoreita, joiden lukumäärä vastaa sen algebraaista kertalukua.

Riippuvuutta criteria: jos matriisilla on erilliset (erityisesti kaikki erottuvat) eigenarvot, se on diagonaalisoitavissa. Yleisempi ehto on, että minimiopolynomi A:lle on jaollinen lineaarisesti tekijöihin ja että se jakautuu yksikin lineaarisesti erillisiin tekijöihin (minimiopolynomi ei sisällä toistuvia juuria). Tämä on sama kuin jokaiselle eigenarvolle algebraaallinen kertoluku on yhtä suuri kuin geometrian kertoluku.

Koska A:n diagonaalisointi vastaa Jordanin muodon diagonaalimuotoa, matriisi on diagonaalisoitavissa täsmälleen silloin, kun kaikki Jordan-palikat ovat kooltaan 1.

Esimerkkejä: diag(1, 2) on diagonaalisoitavissa, kun taas [[1,1],[0,1]] ei ole. Diagonaalisointi voi olla eri kentällä (esimerkiksi reaalinen vs. kompleksinen), riippuen siitä, jakaantuuko minimiopolynomi kyseisellä kentällä.