Determinánsalapú

Determinánsalapú kifejezés olyan megközelítésekre, formulákra vagy reprezentációkra utal, amelyek a determinánst alapvető összetevőként kezelik. Egy determinánsalapú megközelítés során a kvantitások megoldások, transzformációk vagy invariánsok determinánsok felhasználásával kerülnek kifejezésre.

Klasszikus példája a Cramer-szabály, amely egy n×n-es lineáris rendszer Ax = b megoldását úgy adja meg, hogy minden x_i kifejezhető det(A_i)/det(A) formában (feltéve det(A) ≠ 0). Egy másik jelentős összefüggés az inverz felállítása: A^{-1} = adj(A)/det(A). Geometriailag a determináns megadja a vektorok által létrehozott orientált területet vagy térfogatot; 2×2-es alak esetén det([u v]) a parallelogramma orientált területét adja, n-dimenzióban pedig az orientált volument, amit a mátrix hordozza.

Determinánsok megjelennek a polinomiai kontextusban is, például a Vandermonde-determináns a polinomiális interpolációban, illetve determináns-alapú kifejezések találhatók gyökök sorozatainak vizsgálatakor és eredmény-függvényekben. Emellett a változók közötti koordináta-transzformációk Jacobian-determinánsa fontos a többváltozós számításokban.

Előnyök és korlátok: a determináns-alapú képletek szimbolikus és egzakt kifejezéseket adhatnak, de numerikailag érzékenyek lehetnek, és nagy rendszerek esetén számításigényesek lehetnek; a mindennapi numerikus gyakorlatban gyakran LU- vagy QR-dekompozíciót alkalmaznak. Ettől függetlenül a determi-náns-alapú érvelés értékes elméleti eszköz és szimbolikus számításokban gyakran használatos.

Lásd még: Cramer-szabály, adjugát, Jacobian, Vandermonde-determináns.