Desimaleksponenter

Desimaleksponenter refererer til eksponenter, hvor exponenten er angivet som et decimal tal, for eksempel a^b hvor b er 2.5 eller -0.75. De brukes i realt powers-kalkulus og gir en naturlig utvidelse av heltallseksponenter.

Definisjon og grunnleggende vilkår: For basen a > 0 kan a^b defineres for alle reelle tall b ved a^b = exp(b · ln a). Dette gir meningsfulle og kontinuerlige verdier. For a = 0 gjelder 0^b som 0 når b > 0, 0^0 er ofte definert som udefinert, og 0^b for b < 0 er udefinert (uendelig). For a < 0 er a^b sjeldent definert som et reelt tall når b ikke er et rasjonalt tall med oddet s denominator; i slike tilfeller blir verdien ofte kompleks.

Regler og egenskaper: Mange av reglene for heltalls- og rasjonale eksponenter gjelder også for desimaleksponenter når basen er positiv, for eksempel a^(b+c) = a^b · a^c og (a^b)^c = a^(b·c). Ved beregning brukes ofte a^b = exp(b · ln a). Dette gjelder også når b er et desimalt tall eller et desimalt uttrykt rasjonalt.

Forhold til røtter: Hvis b er et rasjonalt tall p/q (og dermed også en endelig desimal), kan a^(p/q) tolkes som q-te rot av a^p, for positive a. Det gir klare tolkninger så lenge rotverdien er definert i reell tallentilstand (som oftest når q er oddet to eller basen er positiv).

Eksempler: 4^2.5 = 32, siden 4^(5/2) = (sqrt(4))^5 = 2^5 = 32. 9^0.5 = sqrt(9) = 3. 2^3.14 kan beregnes som exp(3.14 · ln 2).

Desimaleksponenter utvider kraftreglene til reelle eksponenter og brukes bredt i vitenskap, ingeniørfag og finans, særlig i beregning av vekst, nedgang og kontinuerlige prosesser.