Derivoiminen

Derivoiminen (differentiation) on laskennan osa, joka tutkii funktion muutosnopeutta suhteessa sen riippuvaan muuttujaan. Derivaatta f'(x) määritellään raja-arvona: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h. Vaihtoehtoinen merkintä dy/dx.

Funktion on olla derivoituva pisteessä x, eli raja-arvo on olemassa. Derivaatan geometrinen tulkinta on tangentin viivan kulmakerroin. Derivaatan avulla voidaan tehdä lineaarinen likiarvio f(x+h) ≈ f(x) + f'(x) h.

Perussäännöt ja yleisimmät derivoinnit: summa- ja kertolaskusäännöt sekä ketjusääntö. Esimerkkejä: d/dx x^n = n x^{n-1} (n resurtoituina reaalilukuna), d/dx e^x = e^x, d/dx sin x = cos x, d/dx ln x = 1/x (x > 0). Näiden avulla voidaan derivoida monet tavalliset funktiot rakennetuista lausekkeista.

Korkeammat derivaatat ja sovellukset: toisen derivaatan tulkinta liittyy kiihtyvyyteen tai funktion käpristymiseen (konkavity). Derivaattoja käytetään optimoinnissa löytämään funktioiden maksimoiva tai minimoiva piste, sekä erilaisissa numeerisissa menetelmissä kuten Newtonin menetelmä. Fysiikassa ja taloudessa derivoiminen ilmaisee nopeuksia, havaitsee muutoksen nopeutta ja auttaa ennustamisessa.

Monivariable-differointi: useamman muuttujan tapauksessa tarkastellaan osittaista derivaattoja ja gradienttia. Differentiabiliteetti määrittää, miten hyvin funktion kokonaismuutos voidaan approksimoida lineaarisesti ensimmäisen kertaluvun termillä.