Derivaate

Derivaate, tai derivaatan arvo, kuvaa funktion f muuttumisen nopeutta tietyssä pisteessä. Se määritellään raja-arvona: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)]/h, olettaen että raja-arvo on olemassa. Derivaatan olemassaolo tarkoittaa, että funktiota voidaan lähestyä lineaarisesti paikallisesti, eli grafiikkaa voidaan tulkita tangentin kulmakertoimen avulla. Derivaatta mittaa siten paikallista nopeutta ja kasvun suuntaa.

Geometrisesti f'(x) on tangentin viivan kulmakerroin kohdassa x grafiikalla f. Se kertoo, miten f muuttuu pienellä muutoksella x:ssä, ja on siten tärkeä käyrän paikallinen kuvaaja sekä ominaisuuksien likea.

Merkit ja notation ovat erilaisia: yleisimpiä ovat f'(x), df/dx sekä Df(x). Monimuuttujaisessa tapauksessa puhutaan gradientista ∇f(x) ja osittaisderivaatasta. Esimerkkejä: f(x) = x^2 antaa f'(x) = 2x, f(x) = sin x antaa f'(x) = cos x, f(x) = e^x antaa f'(x) = e^x.

Peruslait sisältävät vakion derivaatan nollan, summa- ja kertalauseet sekä ketjusäännön ja jakosäännön: (u+v)' = u' + v'; (uv)' = u'v + uv'; (u/v)' = (u'v - uv')/v^2; (f∘g)'(x) = f'(g(x)) g'(x). Derivaatta mahdollistaa monien opiskele hakemisen: esimerkiksi nopeuden ja kiihtyvyyden kuvaamisen fysiikassa, kustannus- ja tuottoanalyysissä sekä optimoinnissa, missä f'(x) = 0 löytää kriittiset pisteet ja toisen derivaatan avulla voidaan päätellä kyynÄ.