osittaisderivaatasta

Osittaisderivaatta on derivaatta monimuuttujaisesta funktiosta, jossa muut muuttujat pidetään kiinteinä. Jos f: R^n -> R ja x = (x1, ..., xn), osittaisderivaatta ∂f/∂xi(x) kuvaa f:n muutosta, kun vain xi muuttuu.

Osittaisderivaattoja käytetään kuvaamaan f:n herkkyyttä eri muuttujille. Ne muodostavat gradientin ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). Jos f on riittävän sileä, toista korkeampaa astetta derivoitumista voidaan tarkastella Hessian-matriisina H_ij = ∂^2 f/∂x_i ∂x_j, joka kuvaa f:n toista kertalukua koskevia vaihteluita.

Ketjusääntö antaa osittaisderivaatan koostetuista funktioista: ∂f(g(x))/∂x_i = ∑_j (∂f/∂y_j)(g(x)) · ∂g_j/∂x_i. Tämä mahdollistaa osittaisderivaattojen laskemisen monimutkaisista riippuvuuksista.

Clairautin teoreema sanoo, että jos osittaisderivaatat ovat riittävän sileitä (f on C^2), ristiosittaiset osittaisderivaatat ovat yhtä suuret: ∂^2 f/∂x_i ∂x_j = ∂^2 f/∂x_j ∂x_i.

Osittaisderivaattoja hyödynnetään laajasti sovelluksissa kuten optimoinnissa (gradienttimenetelmät), fysiikassa ja taloustieteessä (marginaalivaikutukset) sekä koneoppimisessa (takaisinsäteilyprosessit).