Delmængde

Delmængde er en grundbegreb i mængdeteori. Hvis B er en delmængde af en mængde A, betyder det, at hvert element i B også findes i A. Man skriver ofte B ⊆ A. En ordentlig delmængde er en delmængde B, der ikke er lig med A, og skrives af og til B ⊊ A eller B ⊂ A, afhængigt af conventions.

Eksempel: Lad A være {1, 2, 3} og B være {1, 2}. Så B ⊆ A, men B ≠ A, så B er en ordentlig delmængde af A. Den tomme mængde Ø er en delmængde af alle mængder, og enhver mængde er en delmængde af sig selv (A ⊆ A).

Relationen ⊆ er en delmængde-relation og opfylder egenskaberne, der kendetegner en delmængderelation. Den er reflexiv (A ⊆ A), antisymmetrisk og transitiv (hvis B ⊆ C og C ⊆ A, så B ⊆ A).

Uden for delmængderbegrebet findes operationer som union, snit og sættelig forskel, der knytter sig til mængder A og B. Unionen A ∪ B indeholder alle elementer, der tilhører enten A eller B; snittet A ∩ B indeholder kun de elementer, der tilhører begge mængder; og forskellen A \ B indeholder elementer i A, som ikke er i B.

Power set, betegnet P(A) eller 2^A, er mængden af alle delmængder af A. Hvis A har n elementer, er antallet af delmængder 2^n. For uendelige mængder følger reglerne for kardinalitet.

Delmængderkategorien er central i teorien om forholdet mellem forskellige mængder og danner grundlaget for ordrer og konstruktioner som potentielt kombineresudførelse og logik.