Dérivées

En mathématiques, la dérivée d'une fonction f définie sur un intervalle réel mesure le taux de variation instantané de f en un point. Plus précisément, f est dérivable en x si la limite du quotient (f(x+h) - f(x)) / h lorsque h tend vers 0 existe; cette limite est notée f'(x) ou df/dx et représente la pente de la tangente à la courbe y = f(x) au point x.

Notations et notions associées: la dérivée s’écrit couramment f'(x) ou df/dx. Pour une fonction de plusieurs variables, on parle de dérivées partielles ∂f/∂x_i et du gradient, qui rassemble ces dérivées partielles dans un vecteur. La différentiabilité implique la continuité, mais la continuité ne garantit pas la dérivabilité.

Règles essentielles: la dérivée est linéaire sur les combinaisons linéaires de fonctions: (f + g)' = f' + g'. La dérivée du produit suit la règle du produit: (f g)' = f' g + f g'. Le quotient se dérive comme (f/g)' = (f' g - f g') / g^2 lorsque g n’est pas nul. La chaîne est fondamentale: si y = f(g(x)) alors y' = f'(g(x)) · g'(x).

Dérivées d'ordre supérieur et propriétés multivariées: la dérivée seconde f'' mesure l’accélération ou la concavité; on peut noter f^(n) pour les dérivées d’ordre n. En multivariable, on utilise aussi le Hessien et le gradient ∇f.

Applications: les dérivées modélisent des taux de variation en physique, économie, biologie, et servent à l’approximation locale d’une fonction par une droite: f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a). Exemple: f(x) = x^2 donne f'(x) = 2x; la tangente en a est y = a^2 + 2a(x − a).

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